A QUICK INTRODUCTION

On a first reading, it is not necessary to understand every detail of the steps that follow. I suggest reading through them briefly and then asking yourself: Did anything particularly complicated happen? Ideally, the answer will be no.

It is best to begin by taking a look at the visualizations. Use the Number Garden button in the title area to explore them interactively. In Number Garden, double-click anywhere in the display or press N to generate new examples. Sometimes it takes several attempts before a particularly striking pattern appears. They emerge from the simple operations described below, yet they do not appear as mere tiling patterns: they form remarkably different visual worlds that nevertheless arise from the same defined construction process.

Anyone wishing to reproduce the results on a computer will, of course, need to understand the procedure in full. When implementing it on a computer, one will then most likely encounter the real challenges.

Points are written as:

P = [x, y, ...]

In the following explanation, no distinction is made between a point and its position vector. When P is called a vector, it means the vector from the origin to the point P.

Imagine this:

In three-dimensional space, we allow three possible positions on each of the x-, y-, and z-axes. On every axis, we may move one step in the negative direction, remain at zero, or move one step in the positive direction:

x, y, z in {-1, 0, 1}

Following this rule, 27 different points can be reached. Each axis provides three states, so the total number of possible points is:

3(x) * 3(y) * 3(z) = 27

Now let us try the same idea with a lattice in six-dimensional space.

This time, we also increase the extent to three steps in either direction. Each axis therefore allows the positions:

{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

There are seven possible positions on each of six axes. The complete six-dimensional lattice therefore contains:

76 = 117,649 points

We can assign all these points to a two-dimensional square grid.

For such a square arrangement, the dimension of the original lattice must be even: 2, 4, 6, 8, and so on. An even dimension makes this square arrangement possible; an odd dimension does not produce such a square in this form.

Let us examine this in more detail using the relation:

q2m = (qm)2

Here, q is the number of possible states on each axis. The lattice extends equally far in the negative and positive directions, with zero as the central state. If the extent in either direction is r, then q = 2r + 1, so q is always odd. The value m is a positive integer, so 2m is the even dimension of the original lattice.

As a result of this relation, the higher-dimensional lattice can be arranged in the plane as a q^m by q^m square containing the same number of lattice points. Since q is odd, the side length q^m is odd as well. The square therefore has one lattice point exactly at its center, and this point serves as the origin.

Our six-dimensional object with seven possible positions on every axis has the same property: the origin lies at the center of all the lattice points.

But how are the points assigned?

That is what the following example demonstrates.

UNDERSTANDING THE METHOD THROUGH ONE EXAMPLE

We use a six-dimensional lattice with the following available coordinate values:

{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

As our example, we choose the point:

P = [-3, 0, 1, -1, 3, -2]

First, split the six components into two blocks of equal length:

Px = [-3, 0, 1]
Py = [-1, 3, -2]

Px will produce the horizontal coordinate in the 2D plane. Py will produce the vertical coordinate.

Other arrangements are possible, but the chosen component order must remain consistent throughout the transformation.

For the moment, concentrate only on the first block:

Px = [-3, 0, 1]

To convert the components, add the extent r to each component. In our example, the extent is r = 3. Therefore:

digit = component + 3

This relation produces the following mapping:

component    becomes    digit

   -3          ->         0
   -2          ->         1
   -1          ->         2
    0          ->         3
    1          ->         4
    2          ->         5
    3          ->         6

The first block therefore changes from:

Px  = [-3, 0, 1]

to:

Px' = [0, 3, 4]

Now take the three components in their existing order as a number:

034

At this point, we need to treat 034 as a numeral in the base-7 numeral system. We use base 7 because every axis has seven possible coordinate states.

This also makes the purpose of the digit range from 0 to 6 clear: the base-7 system permits exactly these seven digits. As shown in step 3, adding r shifts the coordinate values from the range {-r, ..., r} into the nonnegative digit range {0, ..., 2r}. This is what makes the numeral-system representation applicable.

Converting 034 from base 7 into a decimal number gives:

034(base 7)
= 0 * 72 + 3 * 71 + 4 * 70
= 0 + 21 + 4
= 25

Specialized In an array, positions are counted starting from the left. In a number, place values are counted starting from the right. To assign the positions of an array directly to the corresponding place values of a number, the digit sequence must therefore be reversed: 034 becomes 430. In our example, we read 034 directly in the reading direction because this makes the procedure easier to explain.

The complete first coordinate block has now become one value:

Px'' = [25]

Apply exactly the same procedure to:

Py = [-1, 3, -2]

Adding the extent r = 3 to each component, as in step 3, gives:

Py' = [2, 6, 1]

Read these digits as the base-7 number 261:

261(base 7)
= 2 * 72 + 6 * 71 + 1 * 70
= 98 + 42 + 1
= 141

Therefore:

Py'' = [141]

Join the two resulting values to form a point in the 2D plane:

P'' = [25, 141]

At this stage, the assignment is complete, but the square grid is not yet centered around the origin.

The origin of the original six-dimensional lattice lies exactly at the center of its extent. We now reproduce that centered arrangement in the 2D plane.

First calculate the side length of the square:

side length
= √ total number of points
= √(76)
= 73
= 343

There are 343 positions along each side. Because the positions are indexed starting at 0, the first index is 0 and the last index is 343 - 1 = 342. This does not mean that there are only 342 positions: counting both 0 and 342, the range contains all 343 positions.

number of positions = 343
first index         = 0
last index          = 343 - 1 = 342

The central index lies halfway between the first and last indices:

centering value
= 342 / 2
= 171

Subtract this centering value from both components of P'':

P''' = [25 - 171, 141 - 171]

This shift removes the effect of starting the count at zero and creates a new origin [0, 0] exactly in the center of the 2D square.

Complete the calculation to obtain the final result:

P''' = [-146, -30]

THLP has now transformed the six-dimensional point:

P = [-3, 0, 1, -1, 3, -2]

into the two-dimensional point:

P''' = [-146, -30]

In compact form:

[-3, 0, 1, -1, 3, -2]

             THLP
               |
               v

        [-146, -30]

The forward transformation is now complete.

MAPPING THE PLANE BACK INTO HIGHER-DIMENSIONAL SPACE

To create the visualizations, we also need to apply the transformation in the opposite direction. For every pixel or grid position in the image, we identify the corresponding vector in the higher-dimensional lattice. A separate visualization method can then use that vector to determine the color assigned to the selected position.

The inverse transformation follows the previous procedure in reverse. We use the same example, beginning with the point obtained in the plane:

P''' = [-146, -30]

First, undo the centering operation by adding 171 to both coordinates:

P'' = [-146 + 171, -30 + 171]
    = [25, 141]

Convert each coordinate back into its previously used base-7 representation, including the leading zero:

25  = 034(base 7)
141 = 261(base 7)

Separate the digits to recover the two shifted coordinate blocks:

Px' = [0, 3, 4]
Py' = [2, 6, 1]

Undo the shift from the forward transformation. Since the extent r = 3 was added to each component before, we now subtract 3 from each digit:

component = digit - 3

Apply this inverse rule to both coordinate blocks:

Px' = [0, 3, 4]
 -> Px = [0 - 3, 3 - 3, 4 - 3]
       = [-3, 0, 1]

Py' = [2, 6, 1]
 -> Py = [2 - 3, 6 - 3, 1 - 3]
       = [-1, 3, -2]

Join the two coordinate blocks in their original order:

P = [-3, 0, 1, -1, 3, -2]

The point in the centered plane has now been mapped back to its original six-dimensional vector:

[-146, -30]

       inverse THLP
             |
             v

[-3, 0, 1, -1, 3, -2]

This inverse assignment makes it possible to locate the higher-dimensional vector associated with every position in the square. That vector can then serve as the input for the chosen visualization method. This requires the dimension and extent of the underlying lattice to be specified in advance and kept unchanged throughout the assignment.

HOW THE VISUALIZATIONS ARE CREATED

How can a color be assigned to each point on the basis of its corresponding vector?

My first experiment used the vector's distance from the origin. The Pythagorean theorem can be extended to any number of dimensions by adding the squares of all vector components. For our example vector, this gives:

P = [-3, 0, 1, -1, 3, -2]

squared components
= [(-3)2, 02, 12, (-1)2, 32, (-2)2]

distance squared
= sum of the squared components
= 24

The actual Euclidean distance is therefore:

distance = √24

In a computer implementation, taking the square root is not necessary. The squared distance already provides a value that can be used by a chosen color rule. One possible rule is: if the calculation returns the value 24 for a pixel, color that pixel green.

Applying such a rule to every position in the square produces the complete visualization: each position is mapped back to its higher-dimensional vector, and the chosen method calculates from that vector the value that determines the color of the corresponding pixel.

One of the most powerful approaches was to compare the Px component block of the higher-dimensional vector directly with its Py component block. In this comparison, the components at the same position in the two blocks were matched with each other. The relationships obtained from this component-by-component comparison could then be translated into color values.

After reaching a first surprising result, one will probably be tempted to experiment with many other rules. Those possibilities are not described here. The visual results presented here differ considerably, yet they all share the same underlying construction described in this text.

One further observation may be useful. Although both the extent and the dimension affect the total number of lattice points, they often play noticeably different visual roles. In my experiments, changing the extent tended to alter the style and texture of the resulting image, whereas the dimension primarily affected the area occupied by the depicted structure. This may be the opposite of what one would initially expect.

In the Number Garden browser application, an identifier such as 3-NOR-2c is displayed in the browser tab. Pressing the “F” key also displays it directly in the application. The first number, 3 in this example, deserves particular attention: it indicates the extent and has an especially strong influence on the characteristic expression of the graph. This value applies in both the positive and negative axis directions. An extent of 3 therefore comprises the coordinate values {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}. It is worth keeping an eye on this first number and comparing its changes with the appearance of the generated graphs.

The remainder of the identifier (NOR-2c in this example) provides additional information about the visualization techniques used, which will not be discussed further here. The dimension itself is not included in the identifier. Its influence is most apparent in the area occupied by the forms. This becomes especially clear when they are set in motion by tapping the display.

The distinctive spatial characteristics of the projection also tended to become less pronounced as the extent increased. The visual signature of THLP was therefore often clearest at smaller extents, although larger extents could still produce surprising results. These are practical observations from the visual experiments rather than strict mathematical rules.

CLOSING REMARK

THLP creates an ordering principle – by balancing finite number spaces around a common origin.

I have tried to describe the construction of these visualizations in enough detail to make it understandable and reproducible, while keeping the explanation focused without reducing it to the bare minimum.

The underlying principle is not necessarily limited to mapping into a two-dimensional square. By dividing the source coordinates into a different number of blocks, the same encoding idea can be used to map between other dimensions. The method works in both directions. More generally, the method could serve as a link between different dimensions.

With suitable additions, the method might also be extended to lattices with an odd number of dimensions. This would require a suitable way to handle unequal coordinate blocks or rectangular target structures.

Apart from all theory, while viewing these visualizations it may be worth remembering that otherwise hidden secrets of space and extent are genuinely revealed here.

How THLP Came About

I am a computer hobbyist living in Switzerland, near Basel. I became fascinated by pattern generation, and that fascination led me to create Number Garden. The images it produced surprised and impressed me, while also raising questions whose exploration eventually led to THLP. Press the button at the very bottom. It opens www.Number-Garden.com with the suffix /?@THLP@, which unlocks THLP mode.

AI was used as an aid in programming and in preparing this article. The underlying structural properties of the patterns, as well as the discovery and development of THLP, are the result of my own human work and conception. This groundwork was essential: the aim was not to visualize arbitrary images, but to produce patterns through a strictly defined, human-verified computational process. It involved a great deal of my own work.

EINE KURZE EINFÜHRUNG

Beim ersten Lesen ist es nicht notwendig, jedes Detail der folgenden Schritte zu verstehen. Ich empfehle, sie kurz zu überfliegen und sich dann zu fragen: Ist etwas besonders Kompliziertes passiert? Im Idealfall lautet die Antwort: Nein.

Es empfiehlt sich, zuallererst einen Blick auf die Visualisierungen zu werfen. Über den Number-Garden-Button in der Titel-Aufmachung lassen sie sich interaktiv erkunden. In Number Garden, Doppelklick an beliebiger Stelle oder „N“ drücken, um neue Beispielbilder zu erzeugen. Manchmal sind mehrere Versuche nötig, bevor ein besonders eindrucksvolles Motiv erscheint. Sie entstehen aus den unten beschriebenen einfachen Operationen, zeigen sich jedoch nicht als bloße Parkettmuster: Sie bilden bemerkenswert unterschiedliche visuelle Welten, die dennoch aus demselben definierten Konstruktionsverfahren hervorgehen.

Wer die Ergebnisse am Computer reproduzieren möchte, muss das Verfahren selbstverständlich vollständig verstehen. Bei der Umsetzung am Computer trifft man dann sehr wahrscheinlich auf die wahren Herausforderungen.

Punkte werden folgendermaßen geschrieben:

P = [x, y, ...]

In der folgenden Erklärung wird nicht zwischen einem Punkt und seinem Ortsvektor unterschieden. Wenn P als Vektor bezeichnet wird, ist damit der Vektor vom Ursprung zum Punkt P gemeint.

Stellen wir uns Folgendes vor:

Im dreidimensionalen Raum lassen wir auf jeder der x-, y- und z-Achsen drei mögliche Positionen zu. Auf jeder Achse können wir uns einen Schritt in negativer Richtung bewegen, bei null bleiben oder uns einen Schritt in positiver Richtung bewegen:

x, y, z in {-1, 0, 1}

Nach dieser Regel lassen sich 27 verschiedene Punkte erreichen. Jede Achse bietet drei Zustände, daher beträgt die Gesamtzahl möglicher Punkte:

3(x) * 3(y) * 3(z) = 27

Versuchen wir nun dieselbe Idee mit einem Gitter im sechsdimensionalen Raum.

Diesmal erhöhen wir zusätzlich die Ausdehnung auf drei Schritte in beide Richtungen. Jede Achse erlaubt somit die Positionen:

{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

Auf jeder der sechs Achsen gibt es sieben mögliche Positionen. Das vollständige sechsdimensionale Gitter enthält daher:

76 = 117.649 Punkte

All diese Punkte können wir einem zweidimensionalen quadratischen Gitter zuordnen.

Für eine solche quadratische Anordnung muss die Dimension des ursprünglichen Gitters gerade sein: 2, 4, 6, 8 und so weiter. Eine gerade Dimension ermöglicht diese quadratische Anordnung; eine ungerade Dimension ergibt in dieser Form kein Quadrat.

Detaillierter betrachten wir dies anhand der Beziehung:

q2m = (qm)2

Hier ist q die Anzahl möglicher Zustände auf jeder Achse. Das Gitter erstreckt sich gleich weit in die negative und in die positive Richtung; dazwischen liegt null als zentraler Zustand. Beträgt die Ausdehnung in jede Richtung r, so gilt q = 2r + 1. Daher ist q stets ungerade. Der Wert m ist eine positive ganze Zahl; 2m ist somit die gerade Dimension des ursprünglichen Gitters.

Aufgrund dieser Beziehung lässt sich das höherdimensionale Gitter in der Ebene als ein q^m mal q^m großes Quadrat anordnen, das dieselbe Anzahl an Gitterpunkten enthält. Da q ungerade ist, ist auch die Seitenlänge q^m ungerade. Das Quadrat besitzt deshalb genau in seinem Mittelpunkt einen Gitterpunkt, der als Ursprung dient.

Unser sechsdimensionales Objekt mit sieben möglichen Positionen auf jeder Achse besitzt dieselbe Eigenschaft: Der Ursprung liegt im Mittelpunkt aller Gitterpunkte.

Aber wie werden die Punkte zugeordnet?

Das zeigt das folgende Beispiel.

DIE METHODE AN EINEM BEISPIEL VERSTEHEN

Wir verwenden ein sechsdimensionales Gitter mit den folgenden verfügbaren Koordinatenwerten:

{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

Als Beispiel wählen wir den Punkt:

P = [-3, 0, 1, -1, 3, -2]

Zuerst teilen wir die sechs Komponenten in zwei gleich lange Blöcke:

Px = [-3, 0, 1]
Py = [-1, 3, -2]

Px erzeugt die horizontale Koordinate in der 2D-Ebene. Py erzeugt die vertikale Koordinate.

Andere Anordnungen sind möglich, die gewählte Reihenfolge der Komponenten muss jedoch während der gesamten Transformation beibehalten werden.

Konzentrieren wir uns vorerst nur auf den ersten Block:

Px = [-3, 0, 1]

Für die Umwandlung wird zu jeder Komponente die Ausdehnung r addiert. In unserem Beispiel beträgt die Ausdehnung r = 3. Daher gilt:

Ziffer = Komponente + 3

Diese Beziehung ergibt die folgende Zuordnung:

Komponente    wird zu    Ziffer

   -3           ->         0
   -2           ->         1
   -1           ->         2
    0           ->         3
    1           ->         4
    2           ->         5
    3           ->         6

Der erste Block wird somit folgendermaßen umgewandelt:

Px  = [-3, 0, 1]

Das Ergebnis lautet:

Px' = [0, 3, 4]

Nun entnehmen wir die drei Komponenten in ihrer bestehenden Reihenfolge als Zahl:

034

An dieser Stelle müssen wir 034 als Zahl im Siebenersystem behandeln. Wir verwenden die Basis 7, weil jede Achse sieben mögliche Koordinatenzustände besitzt.

Hier wird auch der Sinn des Ziffernbereichs von 0 bis 6 deutlich: Das Siebenersystem lässt genau diese sieben Ziffern zu. Wie in Schritt 3 gezeigt, werden die Koordinatenwerte durch die Addition von r aus dem Bereich {-r, ..., r} in den nichtnegativen Ziffernbereich {0, ..., 2r} verschoben. Erst dadurch lässt sich die Darstellung im Zahlensystem anwenden.

Die Umwandlung von 034 aus der Basis 7 in eine Dezimalzahl ergibt:

034(Basis 7)
= 0 * 72 + 3 * 71 + 4 * 70
= 0 + 21 + 4
= 25

Spezialisiert Bei einem Array beginnt die Zählung der Stellen links. Bei einer Zahl beginnt die Zählung der Stellenwerte dagegen rechts. Möchte man die Stellen eines Arrays direkt den entsprechenden Stellenwerten einer Zahl zuordnen, muss die Ziffernfolge deshalb umgedreht werden: Aus 034 wird 430. In unserem Beispiel lesen wir 034 direkt in Leserichtung, weil sich das Verfahren so einfacher erklären lässt.

Der vollständige erste Koordinatenblock ist nun zu einem einzigen Wert geworden:

Px'' = [25]

Wir wenden nun genau dasselbe Verfahren auf den zweiten Block an:

Py = [-1, 3, -2]

Addieren wir wie in Schritt 3 die Ausdehnung r = 3 zu jeder Komponente, ergibt sich:

Py' = [2, 6, 1]

Wir lesen diese Ziffern als die Zahl 261 zur Basis 7:

261(Basis 7)
= 2 * 72 + 6 * 71 + 1 * 70
= 98 + 42 + 1
= 141

Somit gilt:

Py'' = [141]

Wir verbinden die beiden entstandenen Werte zu einem Punkt in der 2D-Ebene:

P'' = [25, 141]

In diesem Stadium ist die Zuordnung abgeschlossen, das quadratische Gitter ist jedoch noch nicht um den Ursprung zentriert.

Der Ursprung des ursprünglichen sechsdimensionalen Gitters liegt genau in der Mitte seiner Ausdehnung. Diese zentrierte Anordnung bilden wir nun in der 2D-Ebene nach.

Zuerst berechnen wir die Seitenlänge des Quadrats:

Seitenlänge
= √ Gesamtzahl der Punkte
= √(76)
= 73
= 343

Entlang jeder Seite gibt es 343 Positionen. Da die Positionen beginnend bei 0 nummeriert werden, ist der erste Index 0 und der letzte Index 343 - 1 = 342. Das bedeutet nicht, dass es nur 342 Positionen gibt: Da sowohl 0 als auch 342 mitgezählt werden, enthält der Bereich alle 343 Positionen.

Anzahl der Positionen = 343
erster Index          = 0
letzter Index         = 343 - 1 = 342

Der mittlere Index liegt genau zwischen dem ersten und dem letzten Index:

Zentrierungswert
= 342 / 2
= 171

Wir ziehen diesen Zentrierungswert von beiden Komponenten von P'' ab:

P''' = [25 - 171, 141 - 171]

Diese Verschiebung gleicht die bei null beginnende Zählung aus und erzeugt einen neuen Ursprung [0, 0] genau in der Mitte des 2D-Quadrats.

Wir führen die Berechnung aus und gelangen damit zum Endergebnis:

P''' = [-146, -30]

THLP hat nun den sechsdimensionalen Punkt:

P = [-3, 0, 1, -1, 3, -2]

in den zweidimensionalen Punkt transformiert:

P''' = [-146, -30]

In kompakter Form:

[-3, 0, 1, -1, 3, -2]

             THLP
               |
               v

        [-146, -30]

Die Vorwärtstransformation ist nun abgeschlossen.

RÜCKABBILDUNG DER EBENE IN DEN HÖHERDIMENSIONALEN RAUM

Um die Visualisierungen zu erzeugen, müssen wir die Transformation auch in umgekehrter Richtung anwenden. Für jedes Pixel oder jede Gitterposition im Bild ermitteln wir den zugehörigen Vektor im höherdimensionalen Gitter. Ein separates Visualisierungsverfahren kann diesen Vektor anschließend verwenden, um die Farbe der gewählten Position zu bestimmen.

Die inverse Transformation durchläuft das vorherige Verfahren in umgekehrter Reihenfolge. Wir verwenden dasselbe Beispiel und beginnen mit dem in der Ebene erhaltenen Punkt:

P''' = [-146, -30]

Zuerst machen wir die Zentrierung rückgängig, indem wir zu beiden Koordinaten 171 addieren:

P'' = [-146 + 171, -30 + 171]
    = [25, 141]

Wir wandeln jede Koordinate wieder in ihre zuvor verwendete Darstellung zur Basis 7 zurück, einschließlich der führenden Null:

25  = 034(Basis 7)
141 = 261(Basis 7)

Wir trennen die Ziffern, um die beiden verschobenen Koordinatenblöcke wiederherzustellen:

Px' = [0, 3, 4]
Py' = [2, 6, 1]

Wir machen die Verschiebung der Vorwärtstransformation rückgängig. Da zuvor zu jeder Komponente die Ausdehnung r = 3 addiert wurde, ziehen wir nun von jeder Ziffer 3 ab:

Komponente = Ziffer - 3

Diese Umkehrregel wenden wir auf beide Koordinatenblöcke an:

Px' = [0, 3, 4]
 -> Px = [0 - 3, 3 - 3, 4 - 3]
       = [-3, 0, 1]

Py' = [2, 6, 1]
 -> Py = [2 - 3, 6 - 3, 1 - 3]
       = [-1, 3, -2]

Wir verbinden die beiden Koordinatenblöcke wieder in ihrer ursprünglichen Reihenfolge:

P = [-3, 0, 1, -1, 3, -2]

Der Punkt in der zentrierten Ebene wurde nun auf seinen ursprünglichen sechsdimensionalen Vektor zurückgeführt:

[-146, -30]

       inverse THLP
             |
             v

[-3, 0, 1, -1, 3, -2]

Durch diese inverse Zuordnung lässt sich der höherdimensionale Vektor bestimmen, der zu jeder Position im Quadrat gehört. Dieser Vektor kann anschließend als Eingabe für das gewählte Visualisierungsverfahren dienen. Voraussetzung dafür ist, dass Dimension und Ausdehnung des zugrunde liegenden Gitters zuvor festgelegt und während der gesamten Zuordnung unverändert beibehalten werden.

WIE DIE VISUALISIERUNGEN ENTSTEHEN

Wie kann jedem Punkt anhand seines zugehörigen Vektors eine Farbe zugewiesen werden?

Mein erstes Experiment verwendete den Abstand des Vektors vom Ursprung. Der Satz des Pythagoras lässt sich auf beliebig viele Dimensionen erweitern, indem man die Quadrate aller Vektorkomponenten addiert. Für unseren Beispielvektor ergibt sich:

P = [-3, 0, 1, -1, 3, -2]

Quadrierte Komponenten
= [(-3)2, 02, 12, (-1)2, 32, (-2)2]

Quadrierter Abstand
= Summe der Komponentenquadrate
= 24

Der tatsächliche euklidische Abstand beträgt somit:

Abstand = √24

In einer Computerimplementierung ist das Ziehen der Quadratwurzel nicht notwendig. Der quadrierte Abstand liefert bereits einen Wert, den eine gewählte Farbregel verwenden kann. Eine mögliche Regel lautet: Liefert die Berechnung für einen Bildpunkt den Wert 24, wird dieser Bildpunkt grün gefärbt.

Wendet man eine solche Regel auf jede Position im Quadrat an, entsteht die vollständige Visualisierung: Jede Position wird auf ihren höherdimensionalen Vektor zurückgeführt, und aus diesem Vektor wird nach der gewählten Methode der Wert berechnet, der die Farbe des entsprechenden Bildpunkts bestimmt.

Einer der wirkungsvollsten Ansätze bestand darin, den Komponentenblock Px des höherdimensionalen Vektors direkt mit dessen Komponentenblock Py zu vergleichen. Dabei wurden jeweils die Komponenten an derselben Stelle der beiden Blöcke einander zugeordnet. Die Beziehungen aus diesem komponentenweisen Vergleich konnten anschließend in Farbwerte übersetzt werden.

Nach einem ersten überraschenden Ergebnis wird man vermutlich versucht sein, mit vielen weiteren Regeln zu experimentieren. Diese Möglichkeiten werden hier nicht beschrieben. Die hier vorgestellten visuellen Ergebnisse unterscheiden sich erheblich, beruhen jedoch alle auf derselben grundlegenden Konstruktion, die in diesem Text beschrieben wird.

Eine weitere Beobachtung könnte hilfreich sein. Obwohl sowohl die Ausdehnung als auch die Dimension die Gesamtzahl der Gitterpunkte beeinflussen, prägen sie das Erscheinungsbild auf deutlich unterschiedliche Weise. In meinen Experimenten veränderte die Ausdehnung vor allem den Stil und die Textur des entstehenden Bildes, während die Dimension eher die flächenmäßige Ausdehnung der dargestellten Struktur bestimmte. Das ist möglicherweise das Gegenteil dessen, was man zunächst erwarten würde.

In der Browseranwendung Number Garden wird im Browser-Tab eine Kennung wie etwa 3-NOR-2c angezeigt. Durch Drücken der Taste „F“ lässt sie sich zusätzlich direkt in der Anwendung einblenden. Die erste Zahl, in diesem Beispiel die 3, verdient besondere Aufmerksamkeit: Sie bezeichnet die Ausdehnung und hat einen besonders starken Einfluss auf den charakteristischen Ausdruck des Graphen. Der Wert gilt sowohl für die positive als auch für die negative Achsenrichtung. Eine Ausdehnung von 3 umfasst somit die Koordinatenwerte {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}. Es lohnt sich daher, diese erste Zahl im Blick zu behalten und ihre Veränderung mit dem Erscheinungsbild der erzeugten Graphen zu vergleichen.

Der übrige Teil der Kennung (in diesem Beispiel NOR-2c) enthält zusätzliche Angaben zu den verwendeten Visualisierungstechniken, auf die an dieser Stelle jedoch nicht näher eingegangen werden soll. Die Dimension selbst wird in dieser Kennung nicht ausgewiesen. Ihr Einfluss zeigt sich vor allem in der flächenmäßigen Ausdehnung der Gebilde. Besonders anschaulich wird dies, wenn man sie durch Antippen der Bildschirmfläche in Bewegung versetzt.

Die charakteristischen räumlichen Merkmale der Projektion wurden mit zunehmender Ausdehnung tendenziell weniger deutlich. Die visuelle Signatur von THLP war daher bei kleineren Ausdehnungen häufig am klarsten, obwohl auch größere Ausdehnungen überraschende Ergebnisse hervorbringen konnten. Dies sind praktische Beobachtungen aus den visuellen Experimenten und keine strengen mathematischen Regeln.

SCHLUSSBEMERKUNG

THLP erzeugt ein Ordnungsprinzip – indem es endliche Zahlenräume an einem gemeinsamen Ursprung ausbalanciert.

Ich habe versucht, die Konstruktion dieser Visualisierungen so ausführlich zu beschreiben, dass sie verständlich und reproduzierbar ist, und zugleich die Erklärung fokussiert zu halten, ohne sie auf das absolute Minimum zu reduzieren.

Das zugrunde liegende Prinzip ist nicht zwangsläufig auf die Abbildung in ein zweidimensionales Quadrat beschränkt. Teilt man die Quellkoordinaten in eine andere Anzahl von Blöcken, kann dieselbe Kodierungsidee für Abbildungen zwischen anderen Dimensionen verwendet werden. Die Methode funktioniert dabei in beide Richtungen. Allgemeiner betrachtet könnte die Methode als Bindeglied zwischen unterschiedlichen Dimensionen dienen.

Mit geeigneten Ergänzungen könnte die Methode auch auf Gitter mit einer ungeraden Anzahl von Dimensionen erweitert werden. Dafür müsste ein geeigneter Umgang mit ungleich langen Koordinatenblöcken oder rechteckigen Zielstrukturen gefunden werden.

Losgelöst von aller Theorie sollte man sich beim Betrachten der Visualisierungen vielleicht bewusst machen, dass sich hier tatsächlich ansonsten verborgene Geheimnisse von Raum und Ausdehnung offenbaren.

Wie THLP entstand

Ich bin ein Computer-Hobbyist und lebe in der Schweiz, in der Nähe von Basel. Die Erzeugung von Mustern faszinierte mich, und aus dieser Faszination heraus entwickelte ich Number Garden. Die dort erzeugten Bilder überraschten und beeindruckten mich. Zugleich warfen sie Fragen auf, deren Untersuchung schließlich zu THLP führte. Drücke den Button ganz unten. Er öffnet www.Number-Garden.com mit dem Zusatz /?@THLP@, der den THLP-Modus freischaltet.

Bei der Programmierung und der Ausarbeitung dieses Artikels kam KI als Hilfsmittel zum Einsatz. Die zugrunde liegenden strukturellen Eigenschaften der Muster sowie die Entdeckung und Entwicklung von THLP beruhen jedoch auf meiner eigenen menschlichen Arbeit und Konzeption. Diese Vorarbeit war entscheidend: Es ging nicht darum, beliebige Bilder zu visualisieren, sondern Muster durch ein streng definiertes und menschlich überprüftes computergestütztes Verfahren zu erzeugen. Es war eine Menge eigene Arbeit.